Suggestions, liens, mémoires...
Dossier de mathématiques:
géométrie et numération
Introduction
Dans ce dossier nous allons analyser deux séances sur
les deux matières principales des mathématiques : une
en géométrie et l’autre en numération.
Pour la géométrie, il s’agit
d’une séance que j’ai préparée lors du second
stage en responsabilité dans une classe de CE1. Suivant les progressions
du titulaire de la classe, et suivant ses conseils, j’abordais avec les
enfants le maniement de la règle et la mesure du segment : cette séance
correspond à ces compétences citées dans les instructions
officielles : « comparer des objets selon leur longueur par un procédé
direct ou indirect » et « utiliser une règle graduée
en cm pour mesurer ou pour construire un segment. »
En ce qui concerne la numération,
la séance que je vais décrire est une séance observée
lors d’un stage de pratique accompagnée, une séance visant
à poursuivre les objectifs mis en place par le maître formateur
sur la division. Il sera utilisé différentes techniques pour la
résolution du problème proposé, dont la division euclidienne
qui sera désignée comme l’une des plus efficaces alors que
certaines autres techniques seront considérées comme périlleuses
par les enfants eux mêmes. Il s’agit en fait d’une mise en
valeur de cette technique en opposition avec les autres techniques, qui aboutissent
au même résultat mais sont moins efficaces.
Séance de géométrie
Tout d’abord, nous allons présenter les séances précédentes à celle que nous allons analyser ici, pour bien situer son inscription dans la séquence et mieux cerner les difficultés qu’elle comporte.
Cette classe était très en retard, car on y
rencontre beaucoup de difficultés en lecture et le niveau étant
trés d’hétérogène, les progressions étaient
quelque peu retardées vu les différences de niveau à gérer.
Durant les séances précédentes, nous avions vu l’utilisation
de la règle comme instrument pour tracer des droites. Nous avions réalisé
un exercice simple consistant à joindre deux points, après un
travail par deux où ils devaient expliciter leur démarche. Nous
avions rédiger un court texte expliquant comment nous nous y étions
pris pour réussir la situation problème avec une démonstration
par un élève sur le tableau de la classe. Voici en substance ce
qui fut rédigé avec les enfants : « placer sa règle
légèrement en dessous des deux points de façon à
ce qu’on voit les deux points au-dessus de la règle puis tracer
le trait sans bouger la règle ». Puis un petit exercice leur avait
été distribué, les enfants devaient poursuivre le trait
de telle manière à obtenir un quadrillage. Globalement cet exercice
fut acquis par tous les enfants, même un élève en très
grosse difficulté qui ne savait ni lire ni compter a réussi brillamment
l’exercice.
Durant la séance de géométrie suivante, nous nous sommes
intéressés aux comparaisons de longueur : les enfants se trouvaient
devant une feuille polycopiée sur laquelle apparaissaient différents
segments. Ils devaient les classer du plus grand au plus petit sans utiliser
la règle, avec tous les autres accessoires qu’ils désiraient.
Une série de fils, et de bandes de papier étaient mises à
leur disposition.
La séance suivante concerna les mesures proprement dites à l’aide
du manuel et d’une unité u les enfants devaient découvrir
combien de u mesurait chaque segment. A la fin de cette séance nous avions
introduit la notion de centimètre.
Et c’est ensuite que s’inscrit la séance que nous allons
analyser.
Classe : CE1
Objectif de la séance : utiliser sa règle comme instrument pour mesurer et joindre deux points.
Compétences : -savoir placer sa règle
en fonction du zéro
-savoir placer sa règle pour joindre deux points
-dénombrement des grandeurs pour placer un point à la distance
demandée.
Nous avions donc vu précédemment, l’utilisation
de la règle pour joindre deux points, la comparaison de segments entre
eux, la mesure d’un segment, et introduit le centimètre comme unité
de mesure. Il nous restait à mesurer en centimètres avec la règle
ce qui était en quelque sorte l’aboutissement des autres séances.
Pour ce faire, nous débutâmes la séance par la reconstitution
des centimètres de la règle sur une bande de papier, exercice
suggéré dans beaucoup de manuels du maître mais qui posa
déjà problème à certains enfants ; donc pour ne
pas entériner l’erreur, je réunis le groupe classe et ensemble
nous tentâmes de trouver où se situaient les centimètres.
« Les petits traits entre chaque numéro » posèrent
problème aux enfants. La convention formulée par les enfants fut
finalement que les plus longs traits étaient l’emplacement des
centimètres. Après cette mise au point, il leur fut plus aisé
de reconstituer leur règle. On reformula la consigne et ce qu'ils venaient
d’accomplir : « nous avons reconstitué une règle en
faisant un petit trait tous les centimètres ».
Puis je distribuais un polycopié (conf. polycopié ci-joint) qui
ressemblait beaucoup à celui concernant le prolongement des droites.
« Cette fois nous allons fabriquer le quadrillage nous même, du
début à la fin » leur dis-je.
Les enfants devait tracer sur les quatre cotés du carré un trait
tous les deux centimètres et numéroter ces traits de 1 à
9. Puis joindre les 1 ensemble, les 2 etc.… Me rendant compte de la difficulté
de l’exercice un peu tard je décidais de le modifier légèrement,
et de le décomposer en plusieurs étapes :
1/ Tracer des tirets tous les deux centimètres comme dans l’exemple.
2/ Numéroter ces tirets : le premier, le deuxième….
3/ Joindre les 1 ensemble, les 2 ensemble….
Mais la difficulté restait bien trop présente : l’exercice
précédent de la règle était trop ancré et
surtout trop récent dans la tête des enfants : passer de fait un
trait tous les centimètres et écrire 1, 2, 3, 4, 5… puis
devoir faire un exercice où on doit faire presque le même type
d’exercice mais tous les deux centimètres, c'est-à-dire
ne plus se fier à la numérotation de la règle mais transposer
sa mesure était bien trop difficile.
Cependant certains éléments y arrivèrent et bizarrement
pas les plus doués de la classe qui eux avaient beaucoup plus de difficulté
et n’arrivaient pas à s’en sortir par eux-même. Je
circulais énormément pendant les exercices d’une table à
l’autre pour tenter de reformuler la consigne plus clairement pour chacun,
quitte à leur donner un exemple, mais alors mes objectifs s’en
retrouvaient faussés car ma séance devenait beaucoup plus frontale
et moins en situation problème pour les enfants, je leur donnais presque
les propositions attendues pour le bilan en fin de séance. Parfois même
je leur mâchais le travail et plaçais la règle pour mieux
me faire comprendre, je ne les laissais pas assez réfléchir et
trouver la solution eux-mêmes ou tout du moins je n’osais pas les
laisser assez longtemps face à leur difficulté et leur erreur
; me rendant compte de la lacune de la construction de ma leçon, je tentais
de me rattraper, alors que j’aurais pu limiter les dégâts
en laissant libre cours à la situation problème, qui fut plus
problématique que prévu.
Le temps passait et je me retrouvais fort en retard avec des élèves
qui avaient fini depuis fort longtemps et d’autres qui continuaient à
ne pas saisir le but de l’exercice. Cette classe étant difficile
à gérer du point de vu du comportement et donc ne devant pas les
laisser trop longtemps sans une situation problème ou un travail concret
à réaliser, je décidais d’arrêter là
l’exercice au grand damne des meilleurs éléments frustrés
pour une fois de ne pas avoir atteint leur objectif. Mégane par exemple,
sans doute la meilleure élève de la classe et fort calme s’était
même énervée sur sa feuille et devant l’impasse s’énervait
encore plus.
Nous réalisâmes tout de même le bilan : comment vous y êtes
vous pris ? Et ce fut là l’un des rares points positifs de cette
séance : les élèves, qui d’habitude se faisaient
tout petit pendant les mises en commun, en ressortaient grandis, et levaient
le doigt alors que la tête de classe restait muet ou alors levait le doigt
histoire de ne pas perdre la face mais pour ensuite ne formuler aucune hypothèse
si on les interrogeait, mais juste bégayer et faire semblant de réfléchir.
Donc les élèves les moins brillants s’exprimèrent
(pas tous bien sûr, certains d’entre eux restaient eux aussi sans
hypothèse).
- « Il faut toujours placer le 0 sur le point pour mesurer. »
- « On peut compter de deux en deux, sans bouger la règle qui doit
rester sur le 0. »
-« On peut bouger à chaque fois sa règle et la replacer
devant le bon point, pour qu’il y ait bien 2 cm. »
Devant cette mise en commun fort complète, les élèves brillants
qui étaient restés coincés comprirent mieux l’exercice
et voulurent se remettre au travail. Mais le temps ne le permettait pas et ce
ne fut que le lendemain qu’ils le purent. Cette fois l’exercice
fut repris à zéro, on jeta les feuilles mal gommées voir
chiffonnées par la manipulation intensive de la gomme et on reprit l’exercice
depuis le début. Cette fois tous réussir et en moins de temps
qu’il ne fut prévu.
L’objectif fut donc atteint mais en beaucoup plus de temps que je ne le
croyais et au prix de nombreux détours qui auraient pu être évités,
sans oublier le fait que je fus bien trop directif.
D’abord, je n’ai pas assez utilisé la pédagogie différenciée
pour les élèves qui auraient eu du mal pour cet exercice (il aurait
été original de donner des moyens permettant une accessibilité
à l’exercice plus aisé à la tête de la classe
qui ne comprenait pas l’exercice, sans doute pour la seule fois des trois
semaines.). Ainsi on aurait pu donner à certains un morceau de carton
de deux centimètres, qui aurait permis à l’enfant de transposer
ces deux centimètres sur les cotés du carré avec une plus
grande facilité. Mais auquel cas, l’objectif de l’utilisation
de la règle n’aurait pas été atteint, et donc on
aurait été contraint de revenir avec cet élève sur
un exercice différent par la suite. Ou bien et il semble que ce soit
la meilleure solution, revenir sur le même travail, mais avec cette fois
l’utilisation de la règle comme outil et non plus l’utilisation
de morceau de carton ; on serait alors revenu à l’objectif de la
séance qui était de faire deux points avec sa règle pour
délimiter une distance. Ou alors, une simplification de l’exercice
aurait pu être mise en place : au lieu d’un carré de 16 centimètres
de coté, j’aurais pu donner un carré de 8 centimètres
de coté, et demander aux enfants de tracer un trait tous les centimètres,
et on aurait ensuite joint les 1 avec les 1 etc. Ainsi, certes l’introduction
de la mesure 2 cm ou d’un autre chiffre n’aurait pas été
abordée mais le tracé de la règle et la notion de ce qu’est
réellement un centimètre aurait été plus acquise
par les enfants. La base de la connaissance aurait été plus solide.
Je suis en fait allé trop vite et ai finalement perdu du temps en faisant
machine arrière de la sorte, même si le point positif de cette
séance est que les enfants en retard habituellement ont pu être
mis en avant ; certains écueils auraient pu être évités,
la situation problème n’était pas assez construite, les
aides de la pédagogie différenciée pas suffisamment mises
en place.
De plus, une autre activité aurait du être intégrée
à ma progression : plutôt que de donner le centimètre comme
unité de mesure convenu en France, une nouvelle activité problème
aurait permis aux enfants de mieux saisir cette nécessité. Ainsi
dans Enseigner les mathématiques à l’école de Françoise
Cerquetti-Aberkan, il est proposé une activité intitulée
: « importance d’avoir une unité commune pour mesurer ».
Cette activité a pour objectif de prendre conscience de la nécessité
d’avoir une unité commune pour reproduire, mesurer, comparer des
longueurs et la nécessité de sous-multiples de cette unité
(cette dernière notion aurait été mise de coté pour
ma classe qui était très en retard et cette nouvelle information
aurait sans doute été un peu trop chargée de sens pour
eux (même si les millimètres ont été abordés
rapidement en fin de séance.)). L’activité se déroule
par groupe : un groupe doit réussir à faire construire à
un autre groupe un segment juste par une description écrite. Une unité
sera proposée aux deux groupes mais le segment à reproduire aura
une mesure qui ne sera pas un entier de l’unité. Les élèves
devront décrire leur manipulation et leurs jeux de pliage pour arriver
à la construction du segment. En plus de travailler sur ce qui devra
être compréhensible et pas trop dur à expliquer à
leur camarade, les enfants saisiront l’importance de l’unité
de mesure commune et, même si cette manipulation n’est pas dans
l’ouvrage de Cerquetti-Aberkane, ce même exercice pourra être
fait très rapidement à l’aide d’une règle graduée
; les deux groupes trouveront alors fort facilement la solution et la comparaison
entre le segment initial et le construit montrera l’exactitude de cette
méthode et la fiabilité de l’unité de mesure commune
et de l’utilisation de la règle graduée. Il aurait été
donc judicieux d’insérer ce type d’activité dans la
progression de cette séance de géométrie évitant
la petite rupture du passage de la comparaison à la mesure qui n’a
peut-être pas été assez défini.
La séance suivant celle-ci se passa beaucoup mieux et fut un exercice traditionnel avec mesure de segments en centimètres. Les techniques de mesure furent formulées en groupe classe, et très peu d’élèves eurent des difficultés. Certains même devant un problème de photocopieuse qui avait coupée en partie un segment m’écrivirent : 10,4 centimètres. La tête de classe était revenue sur le devant de la scène.
Séance de numération
Cette séance de mathématiques fut observée en SPA, dans
une classe de CM1. L’objectif de l’enseignant fut
de compléter la formation de ses élèves sur la
division en leur donnant une résolution de problème,
avec au bout une division à formuler :
« Un automobiliste vient de faire réviser le moteur de sa voiture
alors qu’il a parcouru 187 620 km. Sachant qu’il révise son
auto tous les 12 500 Km, combien de fois l’a-t-il fait réviser
depuis sa mise en circulation.»
Plutôt que de laisser chercher les élèves en autonomie,
le professeur choisit le groupe classe pour trouver l’opération
à fournir. Comme souvent quand on pose cette question à la cantonade,
beaucoup d’opérations passèrent par la voix des élèves
pour enfin avoir la validation de l’adulte lorsque la division fut proposée.
Pendant 15 minutes, l’enseignant laissa les enfants chercher le résultat
en circulant dans les rangs, en aidant certains élèves en difficulté
ou tout simplement en les motivant pour avancer dans l’exercice. Puis
il écrivit au tableau l’opération :
187 620 |
12 500 |
Il demanda aux enfants quelle était leur technique pour parvenir à
la résolution. Ce fut ici un moment amusant, car les élèves
et l’enseignant avaient leur propre code, leurs expressions, ce qui montre
assez bien la bonne humeur qui circulait dans la classe.
« La technique des parents ! » dirent-ils tous. La technique des
parents consistait à trouver le multiple le plus proche avec les multiples
les plus faciles à calculer :
12500 x 1 = 12500
12500 x 10 = 125000
12500 x 100 = 1250000
Les élèves en déduisent alors que les résultats
sont compris entre tant et tant et se lancent dans les calculs. Par cette technique
d’encadrement, les enfants définissaient une « fourchette
» de solution qui leur permettait ensuite de trouver éventuellement
leur erreur si elle était importante ou bien de se rapprocher le plus
possible du résultat. Cette table de multiplication a l’avantage
de donner immédiatement un ordre de grandeur du résultat et selon
beaucoup de manuel, de livre du maître ou d’ouvrages de didactique,
« cette technique est à conserver autant que l’on veut ».
Puis fut évoquée la technique de grand-mère (la sienne
nous a confié le professeur devant les éclats de rire de ses élèves).
Qui consiste à soustraire un certain nombre de fois 12500 à 187
620, puis de compter le nombre de fois que ce chiffre a été soustrait.
Il y eut aussi la table de 12 500 qui fut posée au tableau jusqu’à
ce que le résultat corresponde à 187 620.
Et enfin, il y eut la division euclidienne classique, poser par un élève
et résolue relativement facilement (il s’agissait d’un bon
élément).
De part la grandeur des chiffres, la technique de poser une table de multiplication
complète de 12 500, se révélait trop périlleux et
source de beaucoup d’erreur. D’ailleurs, lorsque cette éventualité
fut présentée par un élève, le professeur n’eut
même pas à répondre, ses camarades s’empressèrent
de lui dire que ce serait beaucoup trop long.
Le tableau fut partagé en quatre parties et un élève fut
désigné pour résoudre le problème de ces différentes
manières. Les élèves choisis étaient ceux qui avaient
usé de cette technique sur leur cahier pour la résolution du problème.
Nous ignorions jusqu’alors le but de ce travail chez l’enseignant
: il avait fort vite occulté la partie résolution de problème
de son cours en donnant fort vite la réponse à la question, mais
devant le travail des enfants au tableau, nous comprîmes que son but était
de discréditer certaines techniques bien trop longues et éprouvantes
comme la résolution par soustractions successives : cette technique fut
d’ailleurs une de celles qui comportaient des erreurs et l’erreur
fut extrêmement difficile à retrouver, même pour l’enseignant.
L’opération par tâtonnement fut qualifié de chanceuse,
car nécessitant une certaine chance pour arriver rapidement au résultat.
Les autres furent moins critiquées.
Le problème de cette pratique de classe est que 4 élèves
corrigent pour toute la classe alors que celle-ci n’a même pas encore
trouvé son résultat. Les élèves se retrouvent alors
tentés de copier ce qu’écrivent leurs camarades au tableau
plutôt que de chercher par eux-mêmes. Ou bien et c’est encore
plus gênant, ils se retrouvent à arrêter leur démarche,
la correction étant pour eux un temps d’arrêt du travail
: on ne corrige que lorsque l’exercice est susceptible d’être
arrêté. La classe étant très calme, il n’y
eut pas d’incidents ou d’agitation chez les élèves.
On pourrait aussi faire une autre remarque : dans les instructions officielles,
on remarque que la compétence visée en ce qui concerne les divisions
est celle-ci : « calculer le quotient et le reste de la division euclidienne
d’un nombre entier (d’au plus 4 chiffres) par un nombre entier (d’au
plus 2 chiffres), par un calcul posé. » Ici le but du professeur
était sans doute de tenter l’expérience : il a, par ce problème,
montré que la division contenait en elle un peu de toutes ces opérations
: additions, soustractions, multiplications ; de voir ainsi étaler les
techniques visant à diviser, la technique apparaissait plus clairement
aux enfants ; il est toujours plus pertinent de connaître le fonctionnement
d’une opération plutôt que de l’appliquer mécaniquement.
Etalées devant les yeux de la classe, les enfants voyaient ici que les
techniques bonnes pour diviser sont plus ou moins efficaces. On peut aussi noter
que ces compétences visent la fin du cycle 3, et qu’il s’agissait
ici d’une classe de CM1, ce qui nous montre à quel point cette
classe était en avance.
En fait cette séance est une source de réflexion importante
car elle dénote une certaine manière de travailler qui n’est
pas classique. On aurait pu mettre en place des activités de groupe pour
favoriser ce type de travail et la recherche de la technique opératoire
la plus appropriée pour aboutir au résultat. Une mise en commun
aurait été fait en groupe classe pour recueillir les remarques
de chacun et on aurait pu débattre des difficultés de telle ou
telle technique pour la résolution du problème. Cependant l’enseignant
nous confia que le travail de groupe avait été accompli souvent
dans sa classe et qu’il souhaitait une période d’autonomie
chez les enfants, puis une mise en commun en groupe classe pour varier les structures
de travail. Aussi, en ce qui concerne l’objectif de la résolution
de problème, on aurait pu demander au groupe de chercher et de justifier
la technique opératoire qui correspond le mieux à cette situation.
Les objectifs fixés par l’enseignant sont arrivés à
leur aboutissement : les élèves ont pris conscience par le simple
fait qu’ils étaient confrontés à la situation et
aux difficultés de telle ou telle technique, de l’efficacité
de certaines manières de procéder par rapport à d’autres.
Sans compter le fait que tous les enfants ont bien participé à
cet exercice et qu’il semble qu’il ait été compris
par tous. Nous pouvons aussi noter que cette situation était plus une
ouverture sur le reste des programmes qu’un réel apprentissage.
La fonction de la division est acquise, son rôle et sa technique le sont
aussi. Les objectifs sont donc atteints après cette séance qui
servit d’évaluation sommative.
Suggestions, liens, mémoires...
Acceuil Gomme et Gribouillages